머신러닝이나 딥러닝, 특히 수학적인 내용은 다루는 Optimizer, KAN, SSM과 같은 논문들을 보다 보면 수학적인 용어에 익숙해질 필요가 있다.
따라서 여기에서는 공리, 정의, 정리, 따름정리 등 몇가지 용어들을 정리하고자 한다.
이런 용어들은 집합론, 해석학, 확률론, 선형대수 등의 분야를 막론하고 같이 쓰는것 같기에 공통 용어라고 썼다.
공리(Axiom)
- 증명 없이 참으로 받아들이는 기본 전제
- 수학 체계를 구축하는 가장 기초적인 building block
- 예시: 유클리드 기하학의 "두 점을 지나는 직선은 단 하나 존재한다"
정의 (Definition)
- 수학적 개념이나 용어를 명확하게 설명하는 설명문
- 이후의 모든 증명과 논의에서 사용될 용어를 정확히 규정
- 예시: "삼각형은 세 개의 선분으로 둘러싸인 평면도형이다"
명제 (Statement)
- 증명이 필요한 수학적 진술
- 보통 theorem보다는 덜 중요하거나 작은 범위의 진술
- 독립적으로 의미가 있는 수학적 주장
참인 명제 (Proposition)
- 참으로 판명된 명제
- 하지만 proposition과 statement가 명제라는 의미로 혼용되는 경우도 있는 듯 하다.
정리 (Theorem)
- 매우 중요하고 핵심적인 수학적 진술
- 반드시 엄밀한 증명이 필요
- 예시: 피타고라스 정리, 페르마의 마지막 정리
따름정리 (Corollary)
- 정의나 이미 증명된 정리로부터 쉽게 도출되는 결과
- 정리의 직접적인 결과물
- 독립적인 증명이 필요하지 않거나 매우 간단한 증명만 필요
보조정리 (Lemma)
- 더 중요한 정리를 증명하기 위한 보조적인 정리
- 그 자체로는 중요성이 떨어질 수 있으나, 주요 정리 증명의 중간 단계로서 가치가 있음
- 예시: 삼각형의 합동을 증명하기 위한 보조정리, Ito's Lemma
용어들의 계층 구조를 보면:
- 가장 기본: Axiom, Definition
- 중간 단계: Lemma, Proposition
- 가장 중요: Theorem
- 파생 결과: Corollary
공준 (Postulate)
- 공리와 거의 유사하게 쓰는 개념
증명 (Proof)
- 주어진 공리, 정의, 참으로 밝혀진 여러 사항들에 의해서 어떤 명제가 참인지 거짓인지 판별하는 작업
가정 (Assumption)
- 증명이나 논증의 전제 조건
- "만약 ~라면"으로 시작하는 부분
- 정리나 명제의 조건부 부분
모순 (Contradiction)
- 동시에 참일 수 없는 두 개 이상의 명제가 함께 존재하는 상황
- 귀류법 (Proof by Contradiction)의 핵심적인 요소
결론 (Conclusion)
- 전제가 참이고 전개가 올바를 때 도달하는 명제
- 증명이나 정리의 마지막 단계에서 등장하는 명제
가설 (Hypothesis)
- 범위를 좁혀서 참인지 판별하려는 가정
- 주로 통계학에서 사용한다.
법칙(Law)
- 자연현상이나 수학적 관계를 설명하는 규칙
- 예시: 교환법칙, 결합법칙
추측(Conjecture)
- 아직 증명되지 않았지만 참일 것으로 여겨지는 수학적 진술
- 예시: 리만 가설(Riemann Hypothesis), 골드바흐의 추측
References:
https://m.blog.naver.com/obrigadu/50097498450
https://www.scienceall.com/brd/board/390/L/menu/317?brdType=R&bbsSn=183168
https://kg-m-s-a-k-mol-cd.tistory.com/55
https://kg-m-s-a-k-mol-cd.tistory.com/57
https://m.cafe.daum.net/mathonly/O0Ys/50?listURI=%2Fmathonly%2FO0Ys
https://dsaint31.tistory.com/337
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