통계적 분포들과 예시

다양한 discrete disributions와 continuous distributions의
이름과 Notation, pmf 혹은 cdf, pdf, 사용 예시를 정리해보았다.

존재하는 모든 통계적 분포를 정리한 것은 아니고 비교적 자주 쓰이거나,

학부 시절 배운적 있는 분포 위주로 정리했다.

 

 

Discrete Distribution (이산형 분포)

이름	Name	pmf	Notation	사용예시
베르누이 분포	Bernoulli Dist	${p^x} q^{1-x}$ where $q=1-p$	Bernoulli($p$) Ber($p$)	동전을 한 번 던진다.
이항 분포	Binomial Dist	$\binom{n}{k}$ ${p^k} q^{n-k}$	Bin($n, p$)	같은 동전을 순차적으로 n번 던진다.
다항 분포	Multinomial Dist	$\frac{n!}{x_1!,...,x_k!}{{p_1}^{x_1},...,{p_k}^{x_k}}$	Multinomial($n$, $(p_1,...,p_k)$)	주사위를 n번 던진다.
포아송 분포	Poisson Dist	$\frac{{\lambda}^{k}}{k!}e^{-\lambda}$	Pois($\lambda$)	단위 시간 동안 발생하는 사건의 수
기하 분포 $k$번 실패	Geometric Dist with $k$ Failures	${(1-p)^k}p$	-	k번 시도에서 처음 성공할 확률
기하 분포 $k$번 시도	Geometric Dist with $k$ Trials	$(1-p)^{k-1} p$	-	첫 성공까지 k번 실패할 확률
음이항 분포	Negative Binomial Dist	$\binom{k+r-1}{k}$ $(1-p)^k p^r$	NB($r, p$)	r번째 성공까지 k번 실패할 확률
초기하 분포	Hypergeometric Dist	$\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$	-	비복원추출에서 N개 중에 n번 추출했을 때 원하는 것 k개가 뽑힐 확률의 분포
유니폼 분포	Uniform Dist	$\frac{1}{b-a+1}$	Unif($a,b$)	동전 던지기나 주사위 던지기

 

Continuous Distribution (연속형 분포)

이름	Name	cdf	pdf	Notation
정규(가우시안) 분포	Normal (Gaussian) Dist	$\Phi(\frac{x - \mu}{\sigma})$	$\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\exp^{-\frac{1}{2}{(\frac{x - \mu}{\sigma})}^2}$	N($\mu, \sigma^2$)
표준 정규 분포	Standard Normal Dist	$\Phi(x)$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp^{-\frac{1}{2} x^2}$	N(0, 1)
티 분포	t-Dist	$equation$	$equation$	t($\nu$)
카이제곱 분포	Chi-squared ($\chi^{2}$) Dist	$equation$	$equation$	$\chi^{2}(k)$
에프 분포	F-Dist	$equation$	$equation$	F($d_1, d_2$)
지수 분포와 레이트 모수	Exponential Dist with Rate Parameter	$1 - e^{-\lambda x}$	$\lambda e^{-\lambda x}$	Exp($\lambda$)
지수 분포와 스케일 모수	Exponential Dist with Scale Parameter	$1 - e^{-\frac{x}{\theta}}$	$\frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}$	Exp($\theta$)
감마 분포와 쉐이프, 스케일 모수	Gamma Dist with Shape and Scale Parms	$\frac{1}{\Gamma(\alpha)} \gamma(\alpha, \frac{x}{\theta})$	$\frac{\beta ^ \alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha - 1}e^{-x/\theta}$	Gamma($k, \theta$)
감마 분포와 쉐이프, 레이트 모수	Gamma Dist with Shape and Rate Parms	$\frac{1}{\Gamma(\alpha)} \gamma(\alpha, \beta x)$	$\frac{\beta ^ \alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha - 1}e^{-\beta x}$	Gamma($\alpha, \beta$)
베타 분포	Beta Dist	$\frac{B(x;\alpha, \beta)}{B(\alpha, \beta)}$	$\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)}$	Beta($\alpha, \beta$)
와이블 분포	Weibull Dist	$equation$	$equation$	Weib($\lambda, k$)
랭 분포	Erlang Dist	$equation$	$equation$	-
디리클레 분포	Dirichlet Dist	$equation$	$equation$	Dir($\vec{\alpha}$) where $\vec{\alpha}$ = ($\alpha_1,...,\alpha_K$)
파레토 분포	Pareto Dist	$equation$	$equation$	-
제타 분포	Zeta Dist	$equation$	$equation$	-
라플라시안 분포	Laplacian Dist	$equation$	$equation$	-
코시 분포	Cauchy Dist	$equation$	$equation$	-
유니폼 분포	Uniform Dist	$$\{\begin{array}{l}0forx<a\\ \frac{x-a}{b-a}forx\in [a,b]\\ 1forx>b\end{array}$$	$\frac{1}{b-a}$ for $x\ \in\ [a,b]$	Unif($a,b$)

 

Notations

$\Gamma(\alpha)$ is gamma function.

For all positive integers, $\Gamma(\alpha)=(\alpha-1)!$.

For real number $z$, $\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt$.



Incomplete gamma function:



The upper incomplete gamma function is defined as:

$\Gamma(s, x)=\int_{x}^{\infty} t^{s-1} e^{-t} dt$



The lower incomplete gamma function is defined as:

$\gamma(s, x)=\int_{0}^{x} t^{s-1} e^{-t} dt$



Beta Function

$B(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$.



Incomplete Beta Function

$B(x;\alpha, \beta) = \int_{0}^{x} t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1} dt$.

 

 

 

References:

Introduction to Mathematical Statistics - Robert Hogg, et al.

Loss Models: From Data to Decisions - Stuart A. Klugman, et al.

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_probability_distributions